Question

【題目】已知Rt△ABC≌Rt△DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D．

（1）將兩三角形按圖①方式擺放，其中點E落在AB上，DE所在直線交邊AC于點F．求證：AF+EF=DE；

（2）若將兩三角形按照圖②方式擺放，邊AC的延長線與DE相交于點F．你認為（1）中的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出AF、EF與DE之間的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）不成立．此時AF、EF與DE的關系為AF=EF+DE．

【解析】

試題分析：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，連接BF，由HL證Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；

（2）猜想（1）結論不成立，關系式是AF=EF+DE，連接BF，由HL證Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

試題解析：（1）證明：連接BF．由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．在Rt△BCF和Rt△BEF中，∵BC=BE，BF=BF，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF=EF，∵AC=DE，CF+FA=CA，∴AF+EF=DE；

（2）解：（1）中猜想結論不成立，關系式是AF=EF+DE．理由是：

連接BF．在Rt△BEF和Rt△BCF中，∵BC=BE，BF=BF，∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），∴EF=FC，∵AC=DE，由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．