Question

【題目】如圖所示，某教學活動小組選定測量小山上方某信號塔PQ的高度，他們在A處測得信號塔頂端P的仰角為45°，信號塔低端Q的仰角為31°，沿水平地面向前走100米到處，測得信號塔頂端P的仰角為68°．求信號塔PQ的高度．（結果精確到0.1米．參考數據：sin68°≈ 0.93，cos68° ≈ 0.37，tan68° ≈ 2.48，tan31° ≈ 0.60，sin31° ≈ 0.52，cos31°≈0.86）

Answer 1

【答案】信號塔PQ的高度約為67.0米

【解析】延長PQ交直線AB于點E，連接AQ，設PM的長為x米，先由三角函數得出方程求出PM，再由三角函數求出QM，得出PQ的長度即可.

解：延長PQ交直線AB于點M，

則∠PMA＝90°，設PM的長為x米，根據題意，

得∠PAM＝45°，∠PBM＝68°，∠QAM＝31°，

AB＝100，∴在Rt△PAM中，AM＝PM＝x．

BM＝AM－AB＝x－100，

在Rt△PBM中，∵tan∠PBM＝，

即tan68°＝．

解得x ≈ 167.57．∴AM＝PM ≈ 167.57．

在Rt△QAM中，∵tan∠QAM＝，

∴QM＝AM·tan∠QAM＝167.57×tan31°≈100.54．

∴PQ＝PM－QM＝167.57－100.54≈67.0（米）．

因此，信號塔PQ的高度約為67.0米．

“點睛”本題考查直角三角形的應用、三角函數；由三角函數得出方程是解決問題的關鍵，注意掌握當兩個直角三角形有公共邊時，先求出這條公共邊的邊長是解答此類題的一般思路.