Question

【題目】已知點的坐標為，與軸交于點，且為的中點，雙曲線經過、兩點．

（1）求、、的值；

（2）如圖1，點在軸上，若四邊形是平行四邊形，求點的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，動點在雙曲線上，點在軸上，若以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點、的坐標．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）、坐標分別為、；、或、、

【解析】

(1) 過點作軸于，再證，即可求出、、的值；
(2) 設得到，即可求出點的坐標；

(3)由反比例函數的解析式為，再由點P在雙曲線上，點Q在y軸上，設Q(0,y)， P(x, )，再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標．

解：（1）過點作軸于

∵為的中點，

∴DE=AE,

又∵∠PED=∠OEA, ∠DPE=∠AOE,

∴

∴

∴

∴即

∴

（2）∵四邊形是平行四邊形.

∴

∵

在軸上

∴設

則

∴

（3）∵反比例函數的表達式為，
∵點P在雙曲線上，點Q在y軸上，
∴設Q(0,y)，P(x, );
①AB為邊時，如圖①所示．若四邊形ABPQ平行四邊形，

則=0，解得x=1，此時P1(1,4)，Q1(0,6)；
如圖②所示．

若四邊形ABQP是平行四邊形，則x=1.此時P2(1,4)，Q2(0,6);
②當AB為對角線時，如圖③所示，

AP=BQ，且AP//BQ，
所以x=1，
所以P3(1,4)，Q3(0,2)，
故滿足要求的點P，Q的坐標分別是、；、或、、

．