Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y=﹣x+1與y軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：△DBO∽△EBC；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）見解析；（3）存在，P點坐標為（1，﹣1）或P（1， ）或（1，﹣）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）時，△PBC是等腰三角形．理由：見解析

【解析】試題分析：（1）設交點式y=a（x+1）（x-3），則-3a=-3，然后求出a得到拋物線解析式；

（2）先把拋物線解析式配成頂點式得到E（1，-4），再利用一次函數解析式確定D（0，1），則利用兩點間的距離公式可計算出BC=3，BE=2，CE=，BD=，從而得到，然后根據相似三角形的判定方法可判斷△BCE∽△BDO；

（3）設P（1，m），則利用兩點間的距離公式可得BC2=18，PB2=m2+4，PC2=（m+3）2+1，然后討論：當PB=PC時，△PBC是等腰三角形，則m2+4=（m+3）2+1；當PB=BC時，△PBC是等腰三角形，則m2+4=18；當PC=BC時，△PBC是等腰三角形，則（m+3）2+1=18，接著分別解關于m的方程求出m，從而得到滿足條件的P點坐標．

試題解析：（1）解：拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

即y=ax2-2ax-3a，

∴-3a=-3，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2-2x-3；

（2）證明：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴E（1，-4），

當x=0時，y=-x+1=1，則D（0，1），

∵B（3，0），A（-1，0），C（0，-3），

∴BC=，BE=，CE=，BD=，

∵， ， ，

∴，

∴△BCE∽△BDO；

（3）存在，

理由：拋物線的對稱軸為直線x=1，設P（1，m），則BC2=18，PB2=（1-3）2+m2=m2+4，PC2=（m+3）2+1，

當PB=PC時，△PBC是等腰三角形，則m2+4=（m+3）2+1，解得m=-1，此時P（1，-1），

當PB=BC時，△PBC是等腰三角形，則m2+4=18，解得m=±，此時P（1， ）或（1，-）

當PC=BC時，△PBC是等腰三角形，則（m+3）2+1=18，解得m=-3±，此時P（1，-3+）或（-3-），

綜上所述，P點坐標為（1，﹣1）或P（1， ）或（1，﹣）或（1，﹣3+）或（1，﹣3﹣）時，△PBC是等腰三角形．