Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D。連結OD，作BE⊥CD于點E，交半圓O于點F。已知CE=12，BE=9

（1）求證：△COD∽△CBE；
（2）求半圓O的半徑 的長

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD切半圓于點D，OD為⊙O的半徑，

∴CD⊥OD,

∴∠CDO=90°,

∵BE⊥CD于點E,

∴∠E=90°.

∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,

∴△COD∽△CBE.

（2）

解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,

∴CE=15,

∵△COD∽△CBE,

∴,

即,

∴r=.

【解析】（1）根據CD切半圓于點D，BE⊥CD于點E,得出∠CDO=∠E=90°,根據三角形兩個角對應相等的兩個三角形相似得出△COD∽△CBE.
（2）根據（1）中△COD∽△CBE,得出 ， 從而求出半徑。
【考點精析】利用切線的性質定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．