Question

【題目】如圖(甲)，在正方形中，是上一點，是延長線上一點，且．

(1)求證:；

(2)在如圖(甲)中，若在上，且，則成立嗎？

證明你的結論．(3)運用(1)(2)解答中積累的經驗和知識，完成下題:

如圖(乙)四邊形中，∥(＞)，，,點是上一點，且，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）5

【解析】（1）因為ABCD為正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因為DF=BE，則△BCE≌△DCF，即可求證CE=CF；

（2）因為∠BCD=90°，∠GCE=45°，則有∠BCE+∠GCD=45°，又因為△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，則△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；

（3）①過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，利用勾股定理求得DE的長.

（1）在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，

∴∠CDF=∠B=90°．

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD成立．理由如下：

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠GCD=45°．

∵△BCE≌△DCF（已證），

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．

∴∠ECG=∠FCG=45°．

在△ECG和△FCG中，

，

∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=FG．

∵FG=GD+DF，

∴GE=BE+GD．

（3）①如圖2，過點C作CG⊥AD，交AD的延長線于點G，

由（2）和題設知：DE=DG+BE，

設DG=x，則AD=6-x，DE=x+3，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，

∴（6-x）2+32=（x+3）2，

解得x=2．

∴DE=2+3=5.