Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D，與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點，點A在原點的左側，點B的坐標為（3，0），OB=OC=3OA．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）如圖，若點G（2，m）是該拋物線上一點，E是直線AG下方拋物線上的一動點，當點E運動到什么位置時，△AEG的面積最大？求此時點E的坐標和△AEG的最大面積；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）

將A、B、C三點的坐標代入得

解得：

所以這個二次函數的表達式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：當x=2時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，即G（2，﹣3），

設AG的解析式為y=kx+b，將A、G代入函數解析式，得

，解得 ，

直線AG的解析式為y=﹣x﹣1．

過E作EF⊥x軸交AG于，F如圖1

，

E在拋物線上，F在直線AG上，

設E點坐標為（n，n2﹣2n﹣3），F（n，﹣n﹣1），

EF=（﹣n﹣1）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+n+2

S= EF（G﹣xA）= ×（﹣n2+n+2）[2﹣（﹣1）]

=﹣ （n﹣ ）2+ ，

當n= 時，S最大值是 ，

n2﹣2n﹣3=﹣ ，即E（ ，﹣ ）

（3）

解：如圖2

，

① 當直線MN在x軸上方時，設圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），

代入拋物線的表達式，解得R= ；

②當直線MN在x軸下方時，設圓的半徑為r（r＞0），則N（r+1，﹣r），

代入拋物線的表達式，解得r= ，

∴圓的半徑為 或

【解析】（1）根據已知條件，易求得C、A的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）可分別過E、G作x軸的垂線，設垂足為F、H；那么△AGE的面積=△AEF的面積+四邊形FHGE的面積﹣△AGH的面積，設出E點的坐標，即可表示出F點坐標及EF的長，根據上面所得出的面積計算方法，可得出關于△AGE的面積與E點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質，即可求出△AGE的最大面積及對應的E點坐標；（3）根據拋物線和圓的對稱性，知圓心必在拋物線的對稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．