Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD之間的位置關系為 ， 數量關系為 ．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如圖4，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．且AC=4 ，BC=3，∠BCA=45°，正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）CF⊥BD,CF=BD,解：成立,理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF在△BAD與△CAF中, ．∴△BAD≌△CAF,∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,∴∠BCF=90°∴CF⊥BD；
（2）解：如圖，過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G，

則∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG，

在△GAD與△CAF中， ，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

即CF⊥BC．

過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，

∵DE與CF交于點P時，此時點D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45°，AC=4 ，

∴由勾股定理得AQ=CQ=4．

設CD=x，

∴DQ=4﹣x，

∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°

且∠ADE=90°，

∴∠ADQ+∠PDC=90°，

又∵在Rt△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°

∴∠ADQ=∠DPC，

∵∠AQD=∠DCP=90°

∴△AQD∽△DCP，

∴ ，

∴ ．

∴CP=﹣ x2+x=﹣ （x﹣2）2+1．

∴當x=2時，CP有最大值1．

【解析】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△DAB與△FAC中， ，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；

所以答案是：CF⊥BD，CF=BD；

【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和正方形的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．