Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點P．
（1）當∠A=112°時，求∠BPC的度數；
（2）當∠A=α時，求∠BPC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC中，∠A=112°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣112°=68°，

∴BP，CP分別為∠ABC與∠ACP的平分線，

∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）= ×68°=34°，

∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣34°=146°

（2）解：如圖，連接AP并延長至D，

∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，

∴∠1= ABC，∠3= ∠ACB，

∵∠BPD是△ABD的外角，

∴∠BPD=∠1+∠BAP，

同理可得∠CPD=∠3+∠CAP，

∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠1+∠BAP+∠3+∠CAP= ABC+ ∠ACB+∠BAC= （∠ABC+∠ACB）+α= （180°﹣α）+α=90°+ α．

【解析】（1）先根據三角形內角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度數，再由角平分線的定義得出∠2+∠4的度數，最后由三角形內角和定理，即可求出∠BPC的度數；（2）先連接AP并延長至D，根據∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，求得∠1= ABC，∠3= ∠ACB，最后根據三角形的外角性質，求得∠BPC的度數．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內角和外角和三角形的外角的相關知識點，需要掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能正確解答此題．