Question

【題目】在△ABC中∠B=45°，∠C=30°，點D為BC邊上任意一點，連接AD，將線段AD繞A順時針旋轉90°，得到線段AE，連接DE．

（1）如圖1，點E落在BA的延長線上時，∠EDC= （度）直接填空．

（2）如圖2，點D在運動過程中，DE⊥AC時，AB=4 ，求DE的值．

（3）如圖3，點F為線段DE中點，AB=，求出動點D從B運動到C，點F經過的路徑長度．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）DE=；（3）

【解析】

（1）利用三角形的外角的性質即可解決問題；

（2）過點A作AM⊥BC于M，過點D作DH⊥AB于H，構建直角三角形，利用特殊角的三角函數值求出BM、CM，設設BH=DH=x，利用三角函數列出方程，求出BD，進而求得答案；

（3）根據主從聯動的原理，可知點F的軌跡是線段BC順時針旋轉45度，再縮短為根號二分之一，求出BC即可.

解：（1）如圖1，

∵將線段AD繞A順時針旋轉90°，得到線段AE，

∴AE=AD，∠AED=∠ADE=45°

∵∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠AED=90°

故答案為：90°

（2）如圖2，過點A作AM⊥BC于M，過點D作DH⊥AB于H，

在Rt△ABM中，∠B=45°, AM⊥BC，AB=4，

∴AM=BM=

在Rt△DHB中，∠B=45°, DH⊥AB，設BH=DH=x，

∴BD=

在Rt△AMC中，∠AMC=90°, ∠ACB=30°，

∴

∴

∴CM=

∵DE⊥AC，AE=AD

∴AC是線段DE的垂直平分線，

∴CD=CE，∠ECA=∠DCA=30°

∴∠ECD=60°

∴△CDE是等邊三角形

∴∠EDC=60°,CD=DE

∴∠ADH=180°-∠EDC-∠ADE-∠BDH=30°

在Rt△ADH中，AH=4-x，

∴tan∠ADH=

∴AH=

∴=4-x，

∴

∴BD=

∴DM=BD-BM==

∴CD=CM-DM=-()=

∴DE=

（3）如圖3，連接AF,過A作AM⊥BC,

∵△ADE為等腰直角三角形，F為ED中點，

∴∠DAF=45°，

∴AF相當于AD逆時針旋轉了45°，再變為AD，

又∵點D軌跡為BC，∴點F的軌跡為BC逆時針旋轉45°，再變為BC,

在等腰Rt△ABM中，AB=，∴AM=BM=

在Rt△ACM中，∠ACM=30°，

∴tan30°=,

∴CM=

∴BC=CM+BM=

∴點F的路徑為：BC=

所以點F的路徑為：