Question

【題目】在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+4m（m＞0）的圖象經過點B（p，2m），其中m＞0．

（1）若m=1，且k=﹣1，求點B的坐標；

（2）已知點A（m，0），若直線y=kx+4m與x軸交于點C（n，0），n+2p=4m，試判斷線段AB上是否存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（2，2）；（2）線段AB上存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長，且NA=AB．

【解析】試題分析：（1）把點代入一次函數解析式，求解方程，可得B點坐標.

（2）先畫圖，把每個已知點坐標代入一次函數解析式，得到n,p,m之間關系， A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）,Rt△BAO，Rt△NAO中分別利用勾股定理，NA用m表示，AB用m表示.消去m,可得NA=AB．

試題解析：

（1）∵一次函數y=kx+4m（m＞0）的圖象經過點B（p，2m），∴2m=kp+4m，∴kp=﹣2m．

∵m=1，k=﹣1，∴p=2，∴B（2，2）．

（2）線段AB上存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長．

理由如下：

由題意，將B（p，2m），C（n，0）分別代入y=kx+4m，得kp+4m=2m且kn+4m=0．

可得n=2p．

∵n+2p=4m，

∴p=m，∴A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）．

∵xB=xA，∴AB⊥x軸，且 OA=AC=m，∴對于線段AB上的點N，有NO=NC，

∴點N到坐標原點O與到點C的距離之和為NO+NC=2NO．

∵∠BAO=90°，在Rt△BAO，Rt△NAO中分別有

OB2=AB2+OA2=5m2，NO2=NA2+OA2=NA2+m2．

若2NO=OB，則4NO2=OB2．

即4（NA2+m2）=5m2．

可得NA= m．

即NA= AB．

所以線段AB上存在一點N，使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長，且NA=AB．