Question

【題目】已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．

（1）如圖1所示，求證： 且

（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時(shí)，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先證明△AOD≌△BOC（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)得到BC=AD，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得到OH=BC=AD，然后通過(guò)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及直角三角形兩銳角互余證明OH⊥AD；

（2）如圖2中，延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，通過(guò)證明△BEO≌△ODA，可得OH=OE=AD以及∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，問(wèn)題得證；如圖3中，延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長(zhǎng)EO交AD于G，同理可證OH=OE=AD，∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°．

（1）證明：如圖1中，∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OC=OD，OA=OB，

在△AOD與△BOC中，

∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴BC=AD

∵H是BC中點(diǎn)，

∴OH=BC=AD．

∵△AOD≌△BOC

∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn)，

∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，

又∵∠OAD+∠ADO=90°，

∴∠ADO+∠BOH=90°，

∴OH⊥AD；

（2）解：結(jié)論：OH⊥AD，OH=AD

證明：如圖2中，延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，

易證△BEO≌△ODA，

∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，

∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，

∴OH⊥AD．

如圖3中，結(jié)論不變．延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長(zhǎng)EO交AD于G．

易證△BEO≌△ODA，

∴OE=AD，∴OH=OE=AD．

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，

∴∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°，

∴∠AGO=90°，

∴OH⊥AD．