Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點 （不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．
（1）弦長AB等于（結果保留根號）；
（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數；
（3）當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：連接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°

（3）解：∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，

即OC⊥AB，

∴AC= AB= ．

∴當AC的長度為 時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似．

【解析】解：（1）過點O作OE⊥AB于E， 則AE=BE= AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OBcos∠B=2× = ，
∴AB=2 ；
所以答案是：2 ；
【考點精析】本題主要考查了垂徑定理和圓周角定理的相關知識點，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．