Question

【題目】如圖①，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點E是AD邊上一定點，且AE＝1．

（1）當m＝3時，AB上存在點F，使△AEF與△BCF相似，求AF的長度．

（2）如圖②，當m＝3.5時．用直尺和圓規在AB上作出所有使△AEF與△BCF相似的點F．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）對于每一個確定的m的值，AB上存在幾個點F，使得△AEF與△BCF相似？

Answer 1

【答案】（1）AF＝1或3；（2）見解析；（3）當1＜m＜4且m≠3時，有3個；

當m＝3時，有2個；當m＝4時，有2個； 當m＞4時，有1個．

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，∠A=∠B=90°，由此可知要使△AEF與△BCF相似，存在兩種情況：①當∠AEF＝∠BFC時，若，則兩三角形相似；②當∠AEF＝∠BCF時， 若，則兩三角形相似；由這兩種情況分別根據已知條件進行計算即可得到相應的AF的值；

（2）如下圖所示：①延長DA到E′，使AE′=AE，連接CE′交AB于點F1；②連接CE，以CE為直徑作圓，分別交AB于點F2、F3；則F1、F2、F3為所求點；

（3）結合（1）（2）可知，當m=3時，符合條件的點F有2個，當m=4時，符合條件的點F也有2個，而當1<m<4，且 m≠3時，符合條件的點F有3個；而當m>4時，以CE為直徑的圓和AB相離，此時符合條件的點F只有1個.

試題解析：

（1）①當∠AEF＝∠BFC時，

要使△AEF∽△BFC，需，即，

解得AF＝1或3；

②當∠AEF＝∠BCF時，

要使△AEF∽△BCF，需＝，即，

解得AF＝1；

綜上所述AF＝1或3

（2）如下圖所示，圖中F1、F2、F3為所求點；

（提示：延長DA，作點E關于AB的對稱點E′，連結CE′，交AB于點F1；連結CE，以CE為直徑作圓交AB于點F2、F3）；

（3）如（2）中所作圖形，

當m=4時，由已知條件可得DE=3，則CE=5，即圖中圓的直徑為5，由梯形中位線定理可得此時圖中所作圓的圓心到AB的距離=2.5=所作圓的半徑，F2和F3重合，即當m=4時，符合條件的F有2個；

當m>4時，圖中所作圓和AB相離，此時F2和F3不存在了，即此時符合條件的F只有F11個；

而當1＜m＜4且m≠3時，由所作圖形可知，符合條件的F有3個；

綜上所述：可得：①當1＜m＜4且m≠3時，符合條件的F有3個； ②當m＝3時，符合條件的F有2個；③當m＝4時，符合條件的F有2個；④當m＞4時，符合條件的F有1個.