Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠A=30°，過點B、C的⊙O交AB于D，交AC于E，點F在AE上，連接DE、DC、BE和DF，已知BC=EC，AD=AF．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）當BC=4時，求弦CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=2 ．

【解析】試題分析：（1）連接半徑OD，可求得∠ODB=15°，∠ADF=75°，進一步可求得∠ODF=90°，可證得結論；（2）先求出BE，證明△ADC∽△AEB，有，可求出CD的長．

試題解析：（1）如圖，連接半徑OD，

∵∠A=30°，AF=AD，

∴∠ADF=75°，

∵BE為直徑，BC=EC，

∴∠CBE=45°，且∠ABC=60°，

∴∠OBD=∠ODB=15°，

∴∠ODF=180°﹣（∠ODB+∠ADF）=90°，

∴DF是⊙O的切線；

（2）在Rt△BCE中，BC=CE=4，

∴BE=，

∵∠A=30°，

∴AB=2BC=8，AC=，

又∠ABE=∠DCA，∠A=∠A，

∴△ADC∽△AEB，

∴，即，

解得CD=．