Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CE與AB相交于點D，且BE⊥CE，AF⊥CE，垂足分別為點E、F．

（1）若AF＝5，BE＝2，求EF的長．

（2）如圖2，取AB中點G，連接FC、EC，請判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF＝3；（2）△GEF為等腰直角三角形；理由見解析.

【解析】

（1）證得∠ACF＝∠CBE，由AAS證得△ACF≌△CBE得出CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，即可得出結果；

（2）連接CG，證得CG⊥AB，∠BCG＝∠ACB＝45°，則∠CBG＝45°，推出∠GCB＝∠CBG＝45°，得出CG＝BG，易證∠FAD＝∠EBG，由△ACF≌△CBE得出CF＝BE，∠CAF＝∠BCE，證出∠FAD＝∠GCD，∠EBG＝∠FCG，由SAS證得△CFG≌△BEG得出FG＝EG，∠CGF＝∠EGB，由∠CGF+∠FGD＝90°，得出∠FGD+∠EGB＝90°，即∠FGE＝90°，即可得出結論．

（1）∵BE⊥CE，

∴∠BEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BEC＝∠ACB，

∴∠ACF+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACF＝∠CBE，

∵AF⊥CE，

∴∠AFC＝90°，

在△ACF和△CBE中，

∵∠ACF=∠CBE，∠AFC=∠BEC，AC=BC，

∴△ACF≌△CBE（AAS），

∴CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，

∵EF＝CE﹣CF，

∴EF＝5﹣2＝3；

（2）△GEF為等腰直角三角形；理由如下：

連接CG，如圖2所示：

∵AC＝BC，AG＝BG，

∴CG⊥AB，∠BCG＝∠ACB＝×90°＝45°，

∴∠CBG＝90°﹣45°＝45°，

∴∠GCB＝∠CBG＝45°，

∴CG＝BG，

在△ADF和△BDE中，∵∠AFD＝∠BED，

∴∠FAD＝∠EBG，

由（1）證可知：△ACF≌△CBE，

∴CF＝BE，∠CAF＝∠BCE，

∵∠CAF+∠FAD＝∠GCD+∠BCE＝45°，

∴∠FAD＝∠GCD，

∴∠EBG＝∠FCG，

在△CFG與△BEG中，

∵CG=BG，∠FCG=∠EBG，CF=BE，

∴△CFG≌△BEG（SAS），

∴FG＝EG，∠CGF＝∠EGB，

∵∠CGF+∠FGD＝90°，

∴∠FGD+∠EGB＝90°，即∠FGE＝90°，

∴△FGE是等腰直角三角形．