Question

如圖，直線l₁的解析表達式為：y=-3x+3，且l₁與x軸交于點D，直線l₂經過點A，B，直線l₁，l₂交于點C．
（1）求直線l₂的函數關系式；
（2）求△ADC的面積；
（3）若點H為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點H，使以A、D、C、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線l₂的函數關系式為y=kx+b，將x與y的兩對值代入計算求出k與b的值，即可確定出直線l₂的函數關系式；
（2）聯立兩直線解析式求出交點C坐標，由A與D的坐標求出AD的長，三角形ADC由AD為底，C縱坐標的絕對值為高，利用三角形面積公式求出即可；
（3）存在，如圖所示，這樣的點有3各，分別求出三種情況H的坐標即可．

解答：解：（1）設直線l₂的函數關系式為y=kx+b，
∵當x=4時，y=0；當x=3時，y=-

3

2

，
代入得：

4k+b=0 3k+b=- 3 2

，
解得：

k= 3 2 b=-6

，
則直線l₂的函數關系式為y=

3

2

x-6；

（2）由直線l₁：y=-3x+3，直線l₂：y=

3

2

x-6聯立求得：C（2，-3），
令直線l₁：y=-3x+3，y=0，得到x=1，即D（1，0），
∵AD=OA-OD=4-1=3，C縱坐標的絕對值為3，
∴S_△ADC=

1

2

×3×3=

9

2

；

（3）存在，這樣的點有3種情況，如圖所示，
過H₁作H₁P⊥x軸，過C作CQ⊥x軸，
∵四邊形ACDH₁為平行四邊形，
∴△CDQ≌△H₁AP，
∴H₁P=CQ=3，AP=DQ=OQ-OD=2-1=1，OP=OA-AP=4-1=3，
∴H₁（3，3）；
∵C（2，-3），AD=3，
∴H₂（-1，-3），H₃（5，-3），
綜上，H點坐標是（3，3），（-1，-3），（5，-3）．

點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法求一次函數解析式，兩直線的交點坐標，以及平行四邊形的性質，熟練掌握待定系數法是解本題第一問的關鍵．