Question

【題目】解答題
（1）問題背景
如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AB=AC，P為BmC上一動點（不與B，C重合），求證： PA=PB+PC．

小明同學觀察到圖中自點A出發有三條線段AB，AP，AC，且AB=AC，這就為旋轉作了鋪墊．于是，小明同學有如下思考過程：
第一步：將△PAC繞著點A順時針旋轉90°至△QAB（如圖①）；
第二步：證明Q，B，P三點共線，進而原題得證．
請你根據小明同學的思考過程完成證明過程．
（2）類比遷移
如圖②，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內一點，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸
如圖③，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內一點，AB= AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：將△PAC繞著點A順時針旋轉90°至△QAB（如圖①）；

∵BC是直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

由旋轉可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，

∵∠PCA+∠PBA=180°，

∴∠QBA+∠PBA=180°，

∴Q，B，P三點共線，

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，

∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，

∴QP= AP=QB+BP=PC+PB，

∴ AP=PC+PB

（2）

解：如圖②中，連接OA，將△OAC繞點A順時針旋轉90°至△QAB，連接OB，OQ，

∵AB⊥AC

∴∠BAC=90°

由旋轉可得　QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC

∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°

∴在Rt△OAQ中，OQ=3 ，AO=3

∴在△OQB中，BQ≥OQ﹣OB=3 ﹣3

即OC最小值是3 ﹣3

（3）
【解析】（3）如圖③中，作AQ⊥OA，使得AQ= OA，連接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，
∠QAB=∠OAC，
∵ = = ，
∴△QAB∽OAC，
∴BQ= OC，
當BQ最小時，OC最小，
易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ﹣OB，
∴BQ≥2，
∴BQ的最小值為2，
∴OC的最小值為 ×2= ，
故答案為 ．
（1）將△PAC繞著點A順時針旋轉90°至△QAB（如圖①），只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題；（2）如圖②中，連接OA，將△OAC繞點O順時針旋轉90°至△QAB，連接OB，OQ，在△BOQ中，利用三邊關系定理即可解決問題；（3）如圖③構造相似三角形即可解決問題．作AQ⊥OA，使得AQ= OA，連接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ= OC，當BQ最小時，OC最小；