Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于點，，與軸交于點，拋物線的頂點為，其對稱軸與線段交于點，垂直于軸的動直線分別交拋物線和線段于點和點，動直線在拋物線的對稱軸的右側（不含對稱軸）沿軸正方向移動到點．

（1）求出二次函數和所在直線的表達式；

（2）在動直線移動的過程中，試求使四邊形為平行四邊形的點的坐標；

（3）連接，，在動直線移動的過程中，拋物線上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，點的坐標是．

【解析】

（1）將，代入，解出a，b得值即可；求出C點坐標，將C，B代入線段所在直線的表達式，求解即可；

（2）根據題意只要，四邊形即為平行四邊形，先求出點D坐標，然后求出DE，設點的橫坐標為，則，，得出，根據，得，求解即可；

（3）由（2）知，，根據與有共同的頂點，且在的內部，只有當時，，利用勾股定理，可得

，，根據，即，解出t值，即可得出答案．

解：（1）由題意，將，代入，

得，

解得，

∴二次函數的表達式，

當時，，得點，又點，

設線段所在直線的表達式，

∴，解得，

∴所在直線的表達式；

（2）∵軸，軸，

∴，

只要，此時四邊形即為平行四邊形，

由二次函數，

得點，

將代入，即，得點，

∴，

設點的橫坐標為，則，，

由，得，

解之，得（不合題意舍去），，

當時，，

∴；

（3）由（2）知，，

∴，

又與有共同的頂點，且在的內部，

∴，

∴只有當時，，

由，，，

利用勾股定理，可得，，

由（2）以及勾股定理知，，

，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

當時，，

∴點的坐標是．