Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，將BD繞點B逆時針旋轉30°到BE所在的位置，BE與AD交于點F，分別連接DE、CE.

（1）求證：DE=DF；

（2）求證：AE∥BD；

（3）求tan∠ACE的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析 （3）

【解析】試題分析：（1）根據旋轉的性質和等腰三角形的性質易得∠BDE=∠BED=75°，根據正方形的性質可得∠ADB=45°，所以∠EDF=30°，在△DEF中，根據三角形的內角和定理可得∠DFE=75°，所以∠DFE=∠DEF，即可得DE=DF ；（2）過點E作EG⊥BD于點G，易證四邊形AOGE是矩形，即可得結論；（3）設EG=x，則BE=BD=AC=2EG=2x, Rt△BEG中，由勾股定理可得BG= ，即可得OG=()x，再由AE=OG即可得結論.

試題解析：

（1）∵BD繞點B逆時針旋轉30°至BE，

∴∠DBE=30°，BD=BE,

∴∠BDE=∠BED==75°

在正方形ABCD中，BD是對角線，

∴∠ADB=45°，

∴∠EDF=75°－45°=30°，

在△DEF中，∠DFE=180°－∠EDF－∠FED

=180°－30°－75°

=75°

∴∠DFE=∠DEF

∴DE=DF

（2）證明：過點E作EG⊥BD于點G，

∵∠DBE=30°

∴EG=

在正方形ABCD中，AC、BD是對角線，

∴AC=BD，OA= ，AC⊥BD

∴EG=OA且EG∥OA

∴四邊形AOGE是平行四邊形，

∴四邊形AOGE是矩形

∴AE∥BD

（3）設EG=x，

則BE=BD=AC=2EG=2x,

Rt△BEG中，BG= ，

∴OG=BG－BO=()x，

在矩形AOGE中，∠EAO=90°

AE=OG=()x

∴tan∠ACE=