Question

【題目】如圖，在平行四邊形 中，、 的平分線 分別與線段 交于點 ， 與 交于點 ．

(1) 求證：，；

(2) 若 ，，，求 和 的長度．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 的長度為 2，的長度為 ．

【解析】

（1）由在平行四邊形 中，、 的平分線 分別與線段交于點 ，易求得 ，即可得，證得 ，易證得與 是等腰三角形，即可得 ，，又由 ，即可證得；

（2）由（1）易求得 ，，即可求得 的長；過點 作 交 的延長線于點 ，易證得四邊形 為平行四邊形，即可得是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得 的長．

(1) 證明：∵ 平分，

∴．

∵平分，

∴．

∵ 四邊形 平行四邊形，

∴，，，

∴，

∴．

∴．

∴；

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵．

∴；

(2) 解：∵，

∴．

∴，

∵四邊形 平行四邊形，

∴．

∴，

∴，

過點 作 交 的延長線于點 ．

∴．

∵，

∴四邊形 為平行四邊形．

∴，．

∴，

∴在 中：．

∴ 的長度為 2，的長度為 ．

故答案為：(1)證明見解析；(2) 的長度為 2，的長度為 ．