Question

【題目】如圖，將圓形紙片沿弦AB折疊后，圓弧恰好能經過圓心O，⊙O的切線BC與AO延長線交于點C．
（1）若⊙O半徑為6cm，用扇形OAB圍成一個圓錐的側面，求這個圓錐的底面圓半徑．
（2）求證：AB=BC．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設圓錐的底面圓半徑為r，

過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，連接OB，

有折疊可得 OE= OD，

∵OD=OA，

∴OE= OA，

∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，則∠AOE=60°，

∵OD⊥AB，

∴∠AOB=2∠AOE=120°，

∴弧AB的長為： =4π，

∴2πr=4π，

∴r=2；

（2）

解：連接OB，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBO=90°

∴∠C=30°，

∴∠OAE=∠C，

∴AB=BC．

；

解：連接OB，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBO=90°

∴∠C=30°，

∴∠OAE=∠C，

∴AB=BC．

；解：連接OB，；

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBO=90°

∴∠C=30°，

∴∠OAE=∠C，

∴AB=BC．

【解析】（1）過O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根據題意OE= OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，從而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根據弧長公式求得弧AB的長，然后根據圓錐的底面周長等于弧長得出2πr=4π，即可求得這個圓錐的底面圓半徑；（2）連接OB，根據切線的性質得出∠OBC=90°，根據三角形外角的性質得出∠C=30°，從而得出∠BAC=∠C，根據等角對等邊即可證得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的性質定理的相關知識，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑，以及對圓錐的相關計算的理解，了解圓錐側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑稱為圓錐的母線；圓錐側面積S=πrl；V圓錐=1/3πR2h.．