Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點F，AC⊥AB于點A，點E在邊CD上，且滿足DFDB=DEDC，FE=FB，BD平分∠ABE，若AB=6，CF=9，則OE的長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：首先證明△BAF∽△CAB，推出AB2=AFAC，設AF=x，則有36=x（x+9），解得x=3，推出AF=3，BF=EF==3，BC==6，由△EOF∽△COB，推出===，設OF=a，OB=2a，在Rt△ABO中，根據AB2+AO2=OB2，可得36+（3+a）2=4a2，求出a即可解決問題.

詳解：如圖：

∵DFDB=DEDC，

∴=，

∵∠EDF=∠BDC，

∴△CDF∽△BDE，

∴∠2=∠5，

∵∠FOB=∠EOC，

∴△BOF∽△COE，

∴=，

∴=，

∴△EOF∽△COB，

∴∠3=∠4，

∵FB=FE，

∴∠2=∠4，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3，∵∠BAF=∠CAB，

∴△BAF∽△CAB，

∴AB2=AFAC，

設AF=x，則有36=x（x+9），解得x=3，

∴AF=3，BF=EF==3，

BC==6，

∵△EOF∽△COB，

∴===，

設OF=a，OB=2a，

在Rt△ABO中，∵AB2+AO2=OB2，

∴36+（3+a）2=4a2，

解得a=5，

∴OF=5，OC=4，

∴OE=2．

故答案為2．