Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C，該拋物線的頂點為點D

（1）求該拋物線的解析式及點D的坐標。
（2）連接AC，CD，BD，BC，設△AOC，△BOC，△BCD的面積分別為S1 ， S2和S3 ， 用等式表示S1 ， S2 ， S3之間的數量關系，并說明理由
（3）假設存在，設點M的坐標為（m，0），表示出MA的長，根據MN∥BC，得到比例式求出AN，根據△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到點M的坐標，求出BC的解析式，根據MN∥BC，設直線MN的解析式，求解即可

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3，

y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴點D的坐標為：（1，﹣4）

（2）

解：S1+S3=S2，

過點D作DE⊥x軸于點E，DF⊥y軸于F，

由題意得，CD=，BD=，BC=，

CD2+BC2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，

S1=×OA×OC=，

S2=×OB×OC=

S3=×CD×BC=3，

∴S1+S3=S2

（3）

解：存在點M使∠AMN=∠ACM，

設點M的坐標為（m，0），

∵﹣1＜m＜3，

∴MA=m+1，AC=，

∵MN∥BC，

∴=，即=，

解得，AN=（m+1），

∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，

∴△AMN∽△ACM，

∴=，即（m+1）2=（m+1），

解得，m1=，m2=﹣1（舍去），

∴點M的坐標為（，0），

設BC的解析式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，

，解得，

則BC的解析式為y=x﹣3，又MN∥BC，

∴設直線MN的解析式為y=x+b，把點M的坐標為（，0）代入得，

b=﹣，

∴直線MN的解析式為y=x﹣．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，用配方法把一般式化為頂點式求出點D的坐標；
（2）根據點的坐標求出△AOC，△BOC的面積，利用勾股定理的逆定理判斷△BCD為直角三角形，求出其面積，計算即可得到答案；
（3）假設存在，設點M的坐標為（m，0），表示出MA的長，根據MN∥BC，得到比例式求出AN，根據△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到點M的坐標，求出BC的解析式，根據MN∥BC，設直線MN的解析式，求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．