Question

【題目】如圖，以AB為直徑作半圓O，點C為半圓上與A，B不重合的一動點，過點C作CD⊥AB于點D，點E與點D關于BC對稱，BE與半圓交于點F，連CE．

（1）判斷CE與半圓O的位置關系，并給予證明．

（2）點C在運動時，四邊形OCFB的形狀可變為菱形嗎？若可以，猜想此時∠AOC的大小，并證明你的結論；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CE是圓O的切線；（2）可以，此時∠AOC=60°．

【解析】

試題分析：（1）CE是圓O的切線．欲證明CE是圓O的切線，只需推知∠OCE=90°即可；

（2）可以，此時∠AOC=60°．根據已知條件可以推知△COF與△BOF為等邊三角形，則四邊形OCFB的四條邊相等：OC=CF=FB=OB，故四邊形OCFB是菱形．

試題解析：（1）解：CE是圓O的切線．理由如下：

連接OC，則OC=OB，∴∠OCB=∠OBC．

∵點E與點D關于BC對稱，∴∠BCE=∠BCD．

又CD⊥AB，∴∠BCD+∠OBC=∠BCE+∠OCB=90°，即∠OCE=90°，又∵點C在半圓O上，∴CE是圓O的切線．

（2）解：可以，此時∠AOC=60°．理由如下：

連接OF．∵∠AOC=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°．

∵點E與點D關于BC對稱，∴∠CBF=∠OBC=30°，∴∠COF=60°，∴∠OBF=60°，∵OC=OF=OB，∴△COF與△BOF為等邊三角形，∴OC=CF=FB=OB，∴四邊形OCFB是菱形．