Question

【題目】如圖所示，O是直線l上一點，在點O的正上方有一點A，滿足OA＝3，點A，B位于直線l的同側，且點B到直線l的距離為5，線段AB＝，一動點C在直線l上移動．

(1)當點C位于點O左側時，且OC＝4，直線l上是否存在一點P，使得△ACP為等腰三角形？若存在，請求出OP的長；若不存在，請說明理由．

(2)連結BC，在點C移動的過程中，是否存在一點C，使得AC＋BC的值最小？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)存在，OP的長為4或1或9或；（2）存在，AC＋BC的最小值為10.

【解析】

(1)存在，分三種情況分析即可： ①AP=CP, ②AP=AC, ③AC=PC;(2) 作點A關于直線l的對稱點A′,根據兩點之間線段最短即可求解.

(1)存在．由勾股定理可求得AC＝5.當點P使得△ACP為等腰三角形時，

如圖①所示，

OP1＝4，OP2＝5－4＝1，OP3＝CP3＋OC＝AC＋OC＝5＋4＝9.

在Rt△AP4O中，AP42＝OP42＋OA2，

設OP4＝x，則(4－x)2＝x2＋32，

解得x＝，∴OP4＝.

綜上所述，OP的長為4或1或9或.

(2)存在．如圖②所示，作點A關于直線l的對稱點A′，連結A′B與直線l相交于點C，

則A′B為AC＋BC的最小值．

過點A′作A′E∥l，過點B作BE⊥A′E于點E，過點A作AD⊥BE于點D.

在Rt△ABD中，AB＝，BD＝5－3＝2，

∴AD＝＝6.

在Rt△A′BE中，A′E＝AD＝6，BE＝5＋3＝8，

∴A′B＝＝10，

∴AC＋BC的最小值為10.