Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD，CD．

（1）試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化，并說明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數量關系，并說明理由；
②你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角度數；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BD=AC，BD⊥AC，

理由：延長BD交AC于F．

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

在△BED和△AEC中

∴△BED≌△AEC，

∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，

∵∠BED=90°，

∴∠EBD+∠BDE=90°，

∵∠BDE=∠ADF，

∴∠ADF+∠CAE=90°，

∴∠AFD=180°﹣90°=90°，

∴BD⊥AC

（2）

解：

不發生變化，

理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，

∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，

∴∠BED=∠AEC，

在△BED和△AEC中

∴△BED≌△AEC，

∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，

∵∠DEC=90°，

∴∠ACE+∠EOC=90°，

∵∠EOC=∠DOF，

∴∠BDE+∠DOF=90°，

∴∠DFO=180°﹣90°=90°，

∴BD⊥AC

（3）

解：能．

理由：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，

∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，

∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，

∴∠BED=∠AEC，

在△BED和△AEC中中

∴△BED≌△AEC，

∴∠BDE=∠ACE，

∴∠DFC=180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）

=180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）

=180°﹣（60°+60°）

=60°，

即BD與AC所成的角的度數為60°或120°

【解析】（1）延長BD交AC于F，求出∠AEB=∠AEC=90°，證出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠DBE=∠CAE，根據∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°，求出∠AFD=90°即可；（2）求出∠BED=∠AEC，證出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，根據∠ACE+∠EOC=90°求出∠BDE+∠DOF=90°，求出∠DFO=90°即可；（3）求出∠BED=∠AEC，證出△BED≌△AEC，推出∠BDE=∠ACE，根據三角形內角和定理求出∠DFC即可．
【考點精析】掌握三角形的內角和外角和全等三角形的性質是解答本題的根本，需要知道三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．