Question

【題目】復習課中，教師給出關于x的函數y=2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是實數）．
教師：請獨立思考，并把探索發現的與該函數有關的結論（性質）寫到黑板上．
學生思考后，黑板上出現了一些結論．教師作為活動一員，又補充一些結論，并從中選出以下四條：
①存在函數，其圖象經過（1，0）點；
②函數圖象與坐標軸總有三個不同的交點；
③當x＞1時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小；
④若函數有最大值，則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數．
教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由．最后簡單寫出解決問題時所用的數學方法．

Answer 1

【答案】解：①真；將（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1=0，
解得：k=0．
運用方程思想；
②假；反例：k=0時，只有兩個交點．運用舉反例的方法；
③假；如k=1，﹣ = ，當x＞1時，先減后增；運用舉反例的方法；
④真；當k=0時，函數無最大、最小值；
k≠0時，y最= =﹣ ，
∴當k＞0時，有最小值，最小值為負；
當k＜0時，有最大值，最大值為正．運用分類討論思想
【解析】①將（1，0）點代入函數，解出k的值即可作出判斷；②首先考慮，函數為一次函數的情況，從而可判斷為假；③根據二次函數的增減性，即可作出判斷；④當k=0時，函數為一次函數，無最大之和最小值，當k≠0時，函數為拋物線，求出頂點的縱坐標表達式，即可作出判斷．