Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是AB邊上的中線，分別過點C，D作BA和BC的平行線，兩線交于點E，且DE交AC于點O，連接AE． 求證：四邊形ADCE是菱形．

Answer 1

【答案】證明：∵DE∥BC，EC∥AB，

∴四邊形DBCE是平行四邊形．

∴EC∥DB，且EC=DB．

在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，

∴AD=DB=CD．

∴EC=AD．

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∴ED∥BC．

∴∠AOD=∠ACB．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．

∴平行四邊形ADCE是菱形

【解析】欲證明四邊形ADCE是菱形，需先證明四邊形ADCE為平行四邊形，然后再證明其對角線相互垂直即可．
【考點精析】關于本題考查的直角三角形斜邊上的中線和菱形的判定方法，需要了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能得出正確答案．