Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S△CEF=2S△ABE，其中正確結論有（　　）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】C

【解析】∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等邊三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

,

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF（故①正確）．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°（故②正確），

∵BC=CD，

∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．（故③正確）．

設EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x，

∴AC= ，

∴AB= ，

BE= ，

∴BE+DF= ≠x，（故④錯誤），

∵S△CEF=，

S△ABE=，

∴2S△ABE==S△CEF，（故⑤正確）．

綜上所述，正確的有4個，

故選：C．