Question

【題目】分類討論是一種非常重要的數學方法，如果一道題提供的已知條件中包含幾種情況，我們可以分情況討論來求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．

情況①若x=2，y=3時，x+y=5

情況②若x=2，y=﹣3時，x+y=﹣1

情況③若x=﹣2，y=3時，x+y=1

情況④若x=﹣2，y=﹣3時，x+y=﹣5

所以，x+y的值為1，﹣1，5，﹣5．

幾何的學習過程中也有類似的情況：

問題（1）：已知點A，B，C在一條直線上，若AB=8，BC=3，則AC長為多少？

通過分析我們發現，滿足題意的情況有兩種

情況①當點C在點B的右側時，如圖1，此時，AC=　 　

情況②當點C在點B的左側時，如圖2，此時，AC=　 　

通過以上問題，我們發現，借助畫圖可以幫助我們更好的進行分類．

問題（2）：如圖3，數軸上點A和點B表示的數分別是﹣1和2，點C是數軸上一點，且BC=2AB，則點C表示的數是多少？

仿照問題1，畫出圖形，結合圖形寫出分類方法和結果．

問題（3）：點O是直線AB上一點，以O為端點作射線OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度數．畫出圖形，直接寫出結果．

Answer 1

【答案】（1）11，5；（2）點C表示的數為﹣4或8；（3）①當OC，OD在AB的同側時，30°；②當OC，OD在AB的異側時，150°.

【解析】

（1）分兩種情況進行討論：①當點C在點B的右側時，②當點C在點B的左側時，分別依據線段的和差關系進行計算；

（2）分兩種情況進行討論：①當點C在點B的左側時，②當點C在點B的右側時，分別依據BC=2AB進行計算；

（3）分兩種情況進行討論：①當OC，OD在AB的同側時，②當OC，OD在AB的異側時，分別依據角的和差關系進行計算．

解：（1）滿足題意的情況有兩種：

①當點C在點B的右側時，如圖1，此時，AC=AB+BC=8+3=11；

②當點C在點B的左側時，如圖2，此時，AC=AB﹣BC=8﹣3=5；

故答案為：11，5；

（2）滿足題意的情況有兩種：

①當點C在點B的左側時，如圖，此時，BC=2AB=2（2+1）=6，

∴點C表示的數為2﹣6=﹣4；

②當點C在點B的右側時，如圖，BC=2AB=2（2+1）=6，

∴點C表示的數為2+6=8；

綜上所述，點C表示的數為﹣4或8；

（3）滿足題意的情況有兩種：

①當OC，OD在AB的同側時，如圖，∠BOD=180°﹣∠AOC﹣∠COD=30°；

②當OC，OD在AB的異側時，如圖，∠BOD=180°﹣（∠COD﹣∠AOC）=150°；