Question

【題目】已知拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k和拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0．

(1)下列說法你認為正確的是(填寫序號) ；

①拋物線L1和L2與y軸交于同一點(0，5k)；

②拋物線L1和L2開口都向上；

③拋物線L1和L2的對稱軸是同一條直線；

④當k＜－1時，拋物線L1和L2都與x軸有兩個交點．

(2)拋物線L1和L2相交于點E、F，當k的值發生變化時，請判斷線段EF的長度是否發生變化，并說明理由；

(3)在(2)中，若拋物線L1的頂點為M，拋物線L2的頂點為N，問是否存在實數k，使MN＝2EF？如存在，求出實數k；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ①③④　;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）根據二次函數的圖象和性質結合已知條件分析判斷即可；

（2）由y1=y2可得方程：x2+6x+5k= kx2+6kx+5k，解此方程可得，由此可得兩拋物線的交點坐標分別為（0，5k）和（-6，5k），從而可得EF=0-（-6）=6，即EF的長度不會隨k的變化而變化；

（3）將兩個函數解析式配方即可求得點M、N的坐標，從而用含k的代數式表達出MN的長度，結合（2）中所得EF=6即可列出關于k的方程，解此方程即可得到相應的結論.

(1)①∵在拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k和拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k中，當x=0時，y1=y2=5k，

∴拋物線L1和L2都與y軸相交于點（0，5k），即結論①正確；

②∵拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k的開口向上，而拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k的開口方向不確定，

∴“拋物線L1和L2開口都向上”的說法是錯誤的，即結論②不成立；

③∵拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k的對稱軸為直線x=-3，拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k的對稱軸也為直線x=-3，

∴“拋物線L1和L2的對稱軸是同一條直線”的說法是正確的，即結論③成立；

④∵在拋物線L1：y1＝x2＋6x＋5k中，△=36-20k，

∴當k<-1時，△>0，此時拋物線L1與x軸有兩個不同的交點；

∵在拋物線L2：y2＝kx2＋6kx＋5k中，△=16k2，

∴當k<-1時，△>0，此時拋物線L2與x軸有兩個不同的交點；

∴當k<-1時，兩條拋物線都和x軸有兩個不同的交點，故結論④成立；

綜上所述：正確的序號是　①③④　；

(2) 由y1= y2，可得：x2+6x+5k= kx2+6kx+5k，

解得：x1=0，x2=－6，

∵當x=0或x=-6時，y1=y2=5k，

∴兩拋物線的交點坐標為(0，5k)，(－6，5k)，

∴EF＝0－(－6)=6，

∴當k的值發生變化時，線段EF的長度不會發生變化；

(3)存在實數k，使MN=2EF，理由如下：

∵y1=x2+6x+5k=(x+3)2－9+5k，y2=kx2+6kx+5k=k(x+3)2－4k，

∴拋物線L1的頂點M坐標為(－3，－9+5k)，拋物線L2的頂點N坐標為(－3，－4k)，

∴MN=，

∵MN=2EF，EF=6，

∴，

解得：k1=，k2=．

∴存在實數：k1=，k2=使MN=2EF.