Question

【題目】如圖，已知一次函數y= x﹣3與反比例函數 的圖象相交于點A（4，n），與 軸相交于點B．

（1）填空：n的值為 ， k的值為；
（2）以AB為邊作菱形ABCD，使點C在 軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標；
（3）考察反比函數 的圖象，當 時，請直接寫出自變量 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點A（4，n）代入一次函數y=x﹣3，可得n=×4﹣3=3；；把點A（4，3）代入反比例函數y= ， 可得3= ， 解得k=12;
（2）

解：∵一次函數y=x﹣3與x軸相交于點B，

∴x﹣3=0，

解得x=2，

∴點B的坐標為（2，0）;

如圖，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，

∵A（4，3），B（2，0），

∴OE=4，AE=3，OB=2，

∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

在Rt△ABE中，AB===，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=CD=BC=，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCF，

∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，

∴∠AEB=∠DFC=90°，

在△ABE與△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴CF=BE=2，DF=AE=3;

∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，

∴點D的坐標為（4+，3）

（3）

解：當y=﹣2時，﹣2=，解得x=﹣6．

故當y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是x≤﹣6或x＞0．

【解析】（1）把點A（4，n）代入一次函數y= x﹣3，可得n的值；把點A（4，3）代入反比例函數y= ，可得k的值；
（2）求出一次函數y=x﹣3與x軸的交點B的坐標（2，0）;如圖，過點A作AE⊥x軸，垂足為E，過點D作DF⊥x軸，垂足為F再根據勾股定理，菱形的性質，得出△ABE≌△DCF（ASA），由全等三角形的性質求出答案。
（3）當y=﹣2時，﹣2=，解得x=﹣6．故當y≥﹣2時，自變量x的取值范圍是x≤﹣6或x＞0.
【考點精析】掌握反比例函數的性質和菱形的性質是解答本題的根本，需要知道性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．