Question

【題目】定義：把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓”．
如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B，與y軸交于點D，以AB為直徑，在x軸上方作半圓交y軸于點C，半圓的圓心記為M，此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部分組成的圖形就稱為“蛋圓”．

（1）直接寫出點A，B，C的坐標及“蛋圓”弦CD的長；
A ， B ， C ， CD=；
（2）如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．
①求經過點C的“蛋圓”切線的解析式；
②求經過點D的“蛋圓”切線的解析式；
（3）由（2）求得過點D的“蛋圓”切線與x軸交點記為E，點F是“蛋圓”上一動點，試問是否存在S△CDE=S△CDF ， 若存在請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）點P是“蛋圓”外一點，且滿足∠BPC=60°，當BP最大時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣1，0）；（3，0）；（0， ）；3+
（2）解：①如圖2，NC⊥CM，可求得N（﹣3，0），

∴經過點C的“蛋圓”切線的解析式為： ，

②過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y=kx﹣3，

由 ，

得：x2﹣（2+k）x=0，

∵直線與拋物線只有一個交點，

∴k=﹣2，

∴經過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y=﹣2x﹣3

（3）解：如圖3，∵經過點D的“蛋圓”切線的解析式為：y=﹣2x﹣3，

∴E點坐標為（ ，0），

∵S△CDE=S△CDF，

∴F點的橫坐標為 ，

在Rt△MQF1中可求得F′Q= ，

把x= 代入y=x2﹣2x﹣3，可求得y= ．

∴F′（ ， ），F′′（ ， ）

（4）解：如圖4，∵∠BPC=60°保持不變，

因此點P在一圓弧上運動．

此圓是以K為圓心（K在BC的垂直平分線上，且∠BKC=120°），BK為半徑．

當BP為直徑時，BP最大．

在Rt△PCR中可求得PR=1，RC= ．

所以點P的坐標為（1，2 ）．

【解析】解：（1）當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
當x=0時，y=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），OD=3，
如圖1，連接MC，由題意得，OM=1，MC=2，
∴OC= = ，
∴C（0， ），CD=3+ ，
所以答案是：（﹣1，0）；（3，0）；（0， ）；3+ ；