Question

（2013•福州質檢）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，線段DE在AC邊上運動（端點D從點A開始），速度為每秒1個單位，當端點E到達點C時運動停止．F為DE中點，MF⊥DE交AB于點M，MN∥AC交BC于點N，連接DM、ME、EN．設運動時間為t秒．
（1）求證：四邊形MFCN是矩形；
（2）設四邊形DENM的面積為S，求S關于t的函數解析式；當S取最大值時，求t的值；
（3）在運動過程中，若以E、M、N為頂點的三角形與△DEM相似，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質可以證得四邊形MFCN的三個角是直角，則可以證得是矩形；
（2）利用t表示出MN、MF的長，然后根據S=S_△MDE+S_△MNE=

1

2

DE•MF+

1

2

MN•MF即可得到關于t的函數，利用函數的性質即可求解；
（3）當△NME∽△DEM時利用相似三角形的對應邊的比相等即可求得t的值；
當△EMN∽△DEM時，根據相似三角形的對應邊的比相等可以得到

NM

EM

=

EM

DE

即EM²=NM•DE．然后在Rt△MEF中利用勾股定理即可得到一個關于t的方程，從而求解．

解答：解：（1）證明：∵MF⊥AC，
∴∠MFC=90°．              
∵MN∥AC，
∴∠MFC+∠FMN=180°．
∴∠FMN=90°．                           
∵∠C=90°，
∴四邊形MFCN是矩形．     

（2）解：當運動時間為t秒時，AD=t，
∵F為DE的中點，DE=2，
∴DF=EF=

1

2

DE=1．
∴AF=t+1，FC=8-（t+1）=7-t．
∵四邊形MFCN是矩形，
∴MN=FC=7-t．     
又∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=45°．
∴在Rt△AMF中，MF=AF=t+1，
∴S=S_△MDE+S_△MNE=

1

2

DE•MF+

1

2

MN•MF
=

1

2

×2（t+1）+

1

2

（7-t）（t+1）=-

1

2

t²+4t+

9

2

    
∵S=-

1

2

t²+4t+

9

2

=-

1

2

（t-4）²+

25

2

∴當t=4時，S有最大值．                     

（3）∵MN∥AC，
∴∠NME=∠DEM．            
①當△NME∽△DEM時，
∴

NM

DE

=

EM

ME

．          
∴

7-t

2

=1，解得：t=5．                       
②當△EMN∽△DEM時，∴

NM

EM

=

EM

DE

．           
∴EM²=NM•DE．
在Rt△MEF中，ME²=EF²+MF²=1+（t+1）²，
∴1+（t+1）²=2（7-t）．
解得：t₁=2，t₂=-6（不合題意，舍去）
綜上所述，當t為2秒或5秒時，以E、M、N為頂點的三角形與△DEM相似．

點評：本題考查了矩形的判定，相似三角形的判定與性質，以及勾股定理，正確分情況討論是關鍵．