Question

【題目】如圖，在ABCD中，O為對角線AC的中點，EF經過點O并與AB，CD分別相交于點E，F．

（1）求證：AE=CF；
（2）當EF⊥AC時，連接AF，CE，試判斷四邊形AFCE是怎樣的四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，

∵O為AC的中點，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF；

（2）

解：如圖所示：四邊形AFCE是菱形；

理由如下：

由（1）得：△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形．

【解析】（1）由ASA證明△AOE≌△COF，的長對應邊相等即可；（2）先由對角線互相平分證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由EF⊥AC，即可證出四邊形AFCE是菱形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對菱形的判定方法的理解，了解任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．