Question

【題目】如圖，點A（﹣10，0），B（﹣6，0），點C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．點P從點Q（8，0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，運動時間為t秒．

（1）求點C的坐標；

（2）當∠BCP=15°，求t的值；

（3）以點P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）C（0，6）；（2）t的值為8+2或8+6．（3）t的值為2或8或11.2．

【解析】

試題分析：（1）由點C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，易得∠BCO=∠CBO=45°，則可求得OC=OB=6，即可求得答案；

（2）分別從當點P在點B右側與左側時去分析求解，借助于三角函數的知識，即可求得答案；

（3）分別從當⊙P與BC相切于點C時，則∠BCP=90°，當⊙P與CD相切于點C時，有PC⊥CD，即點P與點O重合，當⊙P與AD相切時，由題意得：∠DAO=90°，去分析求解即可求得答案．

解：（1）∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，

∴∠BCO=∠CBO=45°，

∵B（﹣6，0），

∴OC=OB=6，

又∵點C在y軸的正半軸上，

∴C（0，6）；

（2）①當點P在點B右側時，

∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，

∴∠POC=30°，

∴OP=OCtan∠POC=6×=2，

∴t1=8+2，

②當點P在點B左側時，

∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，

∴∠POC=60°，

∴OP=OCtan∠POC=6×=6，

∴t2=8+6，

綜上所述：t的值為8+2或8+6．

（3）由題意知：若⊙P與四邊形ABCD的邊都相切，有以下三種情況：

①當⊙P與BC相切于點C時，則∠BCP=90°，

∵∠OCB=45°，

∴∠OCP=45°，

∴OP=OB=6，

此時t1=8﹣6=2；

②當⊙P與CD相切于點C時，有PC⊥CD，即點P與點O重合，

此時t2=8；

③當⊙P與AD相切時，由題意得：∠DAO=90°，

∴點A為切點，

設OP=x，則PA=PC=10﹣x，

∴62+x2=（10﹣x）2，

∴x=3.2，

∴OP=3.2，

∴t3=8+3.2=11.2；

綜上所述：t的值為2或8或11.2．