Question

【題目】已知：拋物線y=ax2+bx﹣3經過點A（7，﹣3），與x軸正半軸交于點B（m，0）、C（6m、0）兩點，與y軸交于點D．

（1）求m的值；
（2）求這條拋物線的表達式；
（3）點P在拋物線上，點Q在x軸上，當∠PQD=90°且PQ=2DQ時，求點P、Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=﹣3，

∴D（0，﹣3）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣m）（x﹣6m）．

把點D和點A的坐標代入得：6am2=﹣3①，a（7﹣m）（7﹣6m）=﹣3②，

∴a（7﹣m）（7﹣6m）=6am2．

∵a≠0，

∴（7﹣m）（7﹣6m）=m2．

解得：m=1

（2）

解：∵6am2=﹣3，

∴a=﹣ =﹣ ．

將a=﹣ ，m=1代入得：y=﹣ x2+ x﹣3．

∴拋物線的表達式為y=﹣ x2+ x﹣3

（3）

解：如圖所示：過點P作PE⊥x軸，垂足為E．

設點Q的坐標為（a，0）則OQ=﹣a

﹣∵∠DQP=90°，

∴∠PQO+∠OQD=90°．

又∵∠ODQ+∠DQO=90°，

∴∠PQE=∠ODQ．

又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，

∴△ODQ∽△EQP．

∴ = = = ，即 = = ，

∴QE=6，PE=﹣2a．

∴P的坐標為（a+6，﹣2a）

將點P的坐標代入拋物線的解析式得：﹣ （a+6）2+ （a+6）﹣3=﹣2a，整理得：a2+a=0，

解得a=﹣1或a=0．

當a=﹣1時，Q（﹣1，0），P（5，2）；當a=0時，Q（0，0），P（6，0）．

綜上所述，Q（﹣1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）

【解析】（1）先求得點D的坐標，然后設拋物線的解析式為y=a（x﹣m）（x﹣6m），把點D和點A的坐標代入可求得m的值；（2）由6am2=﹣3，m=1可求得a的值，然后代入拋物線的解析式即可；（3）過點P作PE⊥x軸，垂足為E．設點Q的坐標為（a，0）則OQ=﹣a，然后證明△ODQ∽△EQP，依據相似三角形的性質可求得QE=6，PE=﹣2a，則P的坐標為（a+6，﹣2a），將點P的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．