Question

如圖，已知直線AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且滿足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直線AD與BC有何位置關系？請說明理由．
（2）求∠DBE的度數．
（3）若平行移動AD，在平行移動AD的過程中，是否存在某種情況，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質，以及等量代換證明∠ADC+∠C=180°，即可證得AD∥BC；
（2）由直線AB∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠ABC的度數，又由∠DBE=

1

2

∠ABC，即可求得∠DBE的度數．
（3）首先設∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由直線AB∥CD，根據兩直線平行，同旁內角互補與兩直線平行，內錯角相等，可求得∠BEC與∠ADB的度數，又由∠BEC=∠ADB，即可得方程：x°+40°=80°-x°，解此方程即可求得答案．

解答：（1）AD∥BC．
證明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
又∵∠A=∠C
∴∠ADC+∠C=180°，
∴AD∥BC；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=180°-∠C=80°，
∵∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE=

1

2

∠ABF+

1

2

∠CBF=

1

2

∠ABC=40°；

（3）存在．
解：設∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠ABE=x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC=180°-∠A=80°，
∴∠ADB=80°-x°．
若∠BEC=∠ADB，
則x°+40°=80°-x°，
得x°=20°．
∴存在∠BEC=∠ADB=60°．

點評：此題考查了平行線的性質與平行四邊形的性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意掌握兩直線平行，同旁內角互補與兩直線平行，內錯角相等定理的應用，注意數形結合與方程思想的應用．