Question

【題目】（1）如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，求證：EF=BE+FD．

（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足什么關系時，仍有EF=BE+FD，說明理由．

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延長線于F，若BC=8，CD=3，則CE=　 　.（不需證明）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠BAD=2∠EAF，理由詳見解析；（3）CE=5.5.

【解析】試題分析：（1）將△ABE繞點A旋轉使得AB與AD重合，然后證明△AFG≌△AFE，再利用全等三角形對應的邊相等的性質不難證明；（2）首先延長CB至M，使BM=DF，連接AM，構造△ABM≌△ADF，再證明△FAE≌△MAE，最后將相等的邊進行轉化整理即可證明.

試題解析：

（1）證明：把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，如圖1所示：

則△ADG≌△ABE，

∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，

又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BAE=∠EAF=45°，

∴∠GAF=∠FAE，

在△GAF和△FAE中， , ，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF=EF．

又∵DG=BE，

∴GF=BE+DF，

∴BE+DF=EF．

（2）∠BAD=2∠EAF．理由如下：

如圖2所示，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠D=∠ABM，

在△ABM和△ADF中， ，

∴△ABM≌△ADF（SAS）

∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，

∵∠BAD=2∠EAF，

∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，

∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，

在△FAE和△MAE中， ，

∴△FAE≌△MAE（SAS），

∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，

即EF=BE+DF．

（3）CE=5.5