Question

【題目】正方形ABCD的邊長為4，M，N分別是BC，CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．

（1）證明：△ABM∽△MCN；

（2）若△ABM的周長與△MCN周長之比是4：3，求NC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）要證三角形ABM∽MCN，就需找出兩組對應相等的角，已知兩個三角形中一組對應角為直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此這兩個角也相等，據此可得出兩三角形相似；（2）由△ABM∽△MCN，得出對應邊成比例，求出MC、BM，即可求出NC；

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長為4，

∴AB=BC=4，∠B=∠C=90°，

∵AM和MN垂直，

∴∠AMN=90°，

∴∠BAM+∠AMB=90°，∠NMC+∠BMA=180°﹣90°=90°，

∴∠BAM=∠NMC，

∵∠B=∠C，

∴△ABM∽△MCN；

（2）解：∵△ABM∽△MCN，

∴，

∵△ABM∽△MCN，△ABM的周長與△MCN周長之比是4：3，

∴△ABM的周長與△MCN邊長之比也是4：3，

∴，

∵AB=4，

∴，

∴CM=3，

∴BM=4﹣3=1，

∴，

∴NC=．