Question

【題目】在平面直角坐標系中，直角梯形AOBC的位置圖所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分別在線段AC、線段BC上運動，當△MON的面積達到最大時，存在一種使得△MON周長最小的情況，則此時點M的坐標為 ．

Answer 1

【答案】M（3，4）．

【解析】

試題分析：過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，則S△MON=S△OMP+S△NMP=MPQG+MPNG=MPQN，因為QN取得最大值是QN=OB時，△MON的面積最大值=OAOB，設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，此時△OMN面積最大，周長最小．

解：如圖，過點M作MP∥OA，交ON于點P，過點N作NQ∥OB，分別交OA、MP于兩點Q、G，

則S△MON=S△OMP+S△NMP=MPQG+MPNG=MPQN，

∵MP≤OA，QN≤OB，

∴當點N與點B重合，QN取得最大值OB時，△MON的面積最大值=OAOB，

設O關于AC的對稱點D，連接DB，交AC于M，

此時△MON的面積最大，周長最短，

∵AM∥BO

∴=，即=

∴AM=3，

∴M（3，4）．