Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠DAC=∠ABC，

∴∠DAC=∠ACB．

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD．

又∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD．

∴∠ABD=∠CBD．

∴BD平分∠ABC；

（2）解：解：過點O作OE⊥BC于E，

∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠B AC=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴OE=OA=1．

在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，

∴OC= ．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質、平行線的性質以及角平分線的定義證明；（2）過點O作OE⊥BC于E，根據角平分線的性質得到OE=OA，根據勾股定理計算即可．