Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于點F，CE⊥AE，垂足為點E，EG⊥CD，垂足為點G，點H在邊BC上，BH＝DF，連接AH、FH，FH與AC交于點M．下面結論：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③DF＝1；④ EG2＝FGDG．其中正確的個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①②證明△ABH≌△ADF，得AF＝AH，再得AC平分∠FAH，則AM既是中線，又是高線，得AC⊥FH，證明BH＝HM＝MF＝FD，則FH＝2BH；所以①②都正確；③證明CM=MF=DF，根據勾股定理即可求解判斷；④利用三角函數先得出EG2＝FGCG，再根據中位線得到DG＝CG，所以④也正確．

①②如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，

∵AE平分∠DAC，

∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°，

∵BH＝DF，

∴△ABH≌△ADF，

∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°，

∴∠HAC＝∠FAC，

∴HM＝FM，AC⊥FH，

∵AE平分∠DAC，

∴DF＝FM，

∴FH＝2DF＝2BH，

故選項①②正確；

③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，

∴△FMC是等腰直角三角形，

∴CM=MF,

∵正方形的邊長為2，

∴AC＝2，

∴DF=MF=MC＝AC-AM=AC-AD=22，

所以選項③不正確；

④延長CE和AD交于N，如圖2，

∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，

∴CE＝EN，

∵EG∥DN，

∴CG＝DG，

在Rt△FEC中，EG⊥FC，

又EF⊥CE

∴∠EFC+∠FCE＝∠GEC+∠FCE =90°

∴∠EFC=∠GEC

∴tan∠EFC=tan∠GEC

故

∴EG2＝FGCG，又CG＝DG

∴EG2＝FGDG，

故選項④正確；

本題正確的結論有3個，

故選：C．