Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，∠ACB=30°，將矩形ABCD繞點A旋轉得到矩形AB′C′D′，使點B的對應點B′落在AC上，B′C′交AD于點E，在B′C′上取點F，使FB′=AB．

（1）求證：BB′= FB′；

（2）求∠FBB′的度數 ；

（3）已知AB=4，求△BFB′面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）15°；（3）4

【解析】

（1）關鍵根據旋轉的性質證明△ABB′為等邊三角形即可得證；

（2）易知∠B B′F=150°，而BB′= FB′，進而求得∠FBB′的度數；

（3）過B作BH⊥BF交FB′的延長線于H，關鍵求出BH，利用三角形面積公式即可得解.

證明：（1）∵ 矩形ABCD中，∠ACB=30°

∴∠BAC=60°

由旋轉可得：AB′=AB

∴△ABB′為等邊三角形，

∴BB′= AB

∵FB′= AB

∴BB′= FB′

（2）解：由（1）得到△ABB′為等邊三角形，

∴∠AB′B=60°，

由旋轉可得∠AB′F=90°

∴∠BB′F=150°

∴BB′= FB′

∴∠FBB′=∠BFB′=15°；

（3）解：過B作BH⊥BF交FB′的延長線于H，

∵∠FBB′=∠BFB′=15°

∴∠B B′H=30°

在Rt△B B′H中，BB′= AB=4, ∠B B′H=30°

∴BH=2

S△BFB′=，