Question

【題目】如圖：已知ABCD中，以AB為斜邊在ABCD內作等腰直角△ABE，且AE=AD，連接DE，過E作EF⊥DE交AB于F交DC于G，且∠AEF=15°

（1）若EF=，求AB的長．

（2）求證：2GE+EF=AB．

Answer 1

【答案】（1）AB=3；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）作EH⊥AB，交AB于H，根據等腰直角三角形的性質得到∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，于是得到EH=HB=AH=AB，于是得到∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，求得∠FEH=30°，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）連接EC，根據三角形的內角和得到∠DEA=∠EDA=75°，于是得到∠EAD=30°，求出∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，由于∠ABE=45°，得到∠CBE=60°，推出△BCE是等邊三角形，求出∠DCE=15°，CE=BE=AE，推出DG=2GE，證得△AEF≌△ECG，根據全等三角形的性質得到GC=FE，即可得到結論．

解：（1）作EH⊥AB，交AB于H，

∵△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EAB=∠EBA=45°，EA=EB，

∴EH=HB=AH=AB，

∴∠EFH=∠EAB+∠AEF=60°，

∴∠FEH=30°，

∴FH=EF=EH=，

∴AB=3，

（2）連接EC，

∵∠AEF=15°，EF⊥DE，AE=AD，

∴∠DEA=∠EDA=75°，

∴∠EAD=30°，

∵∠BAE=45°，

∴∠DAB=∠DCB=75°，∠CBA=∠CDA=105°，

∵∠ABE=45°，

∴∠CBE=60°，

∵AD=BE=BC，

∴△BCE是等邊三角形，

∴∠DCE=15°，CE=BE=AE，

∵∠GED=90°，∠GDC=30°，∠DGE=60°，

∴DG=2GE，

∵∠EGC=105°=∠AFE，CE=EF，∠DCE=15°=∠AEF，

在△AEF與△ECG中，，

∴△AEF≌△ECG，

∴GC=FE，

∴AB=DC=DG+GC=2GE+CG=2GE+EF．