Question

【題目】問題背景：如圖，四邊形中，，，，，，為邊上一動點，連接、．

問題探究

（1）如圖1，若，則的長為__________．

（2）如圖2，請求出周長的最小值；

（3）如圖3，過點作于點，過點分別作于，于點，連接

①是否存在點，使得的面積最大？若存在，求出面積的最大值，若不存在，請說明理由；

②請直接寫出面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）18；（3）①；②

【解析】

（1）過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于點F，利用等腰直角三角形ABF求得AF和BF的長，再利用Rt△PBF求得PF的長，進而得解；

（2）作點B關于直線AD的對稱點B'，連接B'C，交AD于點P'，連接BP'，根據兩點之間線段最短可知當B'，P，C三點共線時，周長取得最小值，再利用勾股定理計算即可；

（3）①②根據，可得點E、M、P、N在以PE為直徑的圓上，利用圓周角定理和直角三角形兩銳角互余可證得△MPN∽△CPB，進而可知當MN最大時，面積的最大，當MN最小時，面積的最小，由圓的性質可知當MN為直徑時MN最大，當MN⊥PE時，MN最小，最后利用勾股定理、等積法和相似三角形的性質求解即可．

解：（1）如圖，過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于點F，

∵AD∥BC，∠ABC＝45°，

∴∠FAB＝∠ABC＝45°，

∵BF⊥AD，

∴在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，

∵

∴AF＝BF＝AB＝，

∵AD∥BC，∠PBC＝30°，

∴∠FPB＝∠PBC＝30°，

∵在Rt△PBF中，tan∠FPB＝

∴tan30°＝，

∴

∴；

（2）如圖，作點B關于直線AD的對稱點B'，連接B'C，交AD于點P'，連接BP'，

∵點B與點B'關于直線AD對稱，

∴AD垂直平分BB'，BF＝B'F＝3，

∴P'B＝P'B'，BB'＝6，

∴當點P在點P'時，PB+PC取得最小值，最小值為B'C的長，此時△BPC的周長最小，

在Rt△BB'C中，B'C＝，

∴△BPC的周長最小值為B'C+BC＝10+8＝18；

（3）①∵，，

∴∠EMP＝∠ENP＝90°，

∴點E、M、P、N在以PE為直徑的圓上，如圖所示，

則∠PMN＝∠PEN，

∵，，

∴∠PEC＝∠ENC＝90°，

∴∠PEN+∠NEC ＝∠NEC+∠PCB＝90°，

∴∠PEN ＝∠PCB，

∴∠PMN＝∠PCB，

又∵∠MPN＝∠CPB，

∴△MPN∽△CPB，

∴

∵，

∴PE＝3，

∴

∴

∴當MN取得最大值時，的面積取得最大值，

當MN＝PE＝3時，解得

即當MN＝PE＝3時，的面積最大，最大值為；

②由①可知，，

∴當MN取得最小值時，的面積取得最小值，

由垂徑定理可知，當MN⊥PE時，MN取得最小值，

如圖，當MN⊥PE時，則弧ME＝弧NE

∴∠MPE＝∠NPE，

∵，

∴∠PEB＝∠PEC＝90°，

∴△PEB≌△PEC，

∴EB＝EC＝BC＝4，

在Rt△BEP中，BP＝,

∵

∴

∴,

在Rt△PME中，PM＝

∵

∴

∴,

∴,

∴,

解得，

∴面積的最小值為．