Question

【題目】（1）問題探究：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．

①求證：△CDA≌△CEB；

②求∠AEB的度數．

（2）問題變式：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．

①請求出∠AEB的度數

②直接寫出線段AE、CM、BE之間的數量關系，不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②60°；（2）①90°；②AE= BE+2CM

【解析】

（1）①根據等邊三角形的性質得到CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS定理證明△CDA≌△CEB；

②根據全等三角形的性質得到∠CEB=∠ADC=120°，結合圖形計算即可；

（2）①根據等腰直角三角形的性質得到CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，利用SAS定理證明△CDA≌△CEB，利用全等三角形的性質計算即可；

②根據全等三角形的性質得到BE=AD，根據直角三角形的性質得到DE=2CM，結合圖形解答．

（1）①證明：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE，

在△CDA和△CEB中，

，

∴△CDA≌△CEB；

②解：∵∠CDE=60°，

∴∠ADC=120°，

∵△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠ADC=120°，

∴∠AEB=120°﹣60°=60°；

（2）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣DCB，即∠ACD=∠BCE，

在△CDA和△CEB中，

，

∴△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠ADC=135°，

∴∠AEB=135°﹣45°=90°；

②解：∵△CDA≌△CEB，

∴BE=AD，

∵CD=CE，CM⊥DE，

∴DM=ME，又∠DCE=90°，

∴DE=2CM，

∴AE=AD+DE=BE+2CM．