Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE=，BC=6，求切線BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）如圖，連接OD，欲證明直線BD與⊙O相切，只需證明OD⊥BD即可；

（2）連接DE．利用圓周角定理和三角形中位線定理易求DE的長度，而AD：AE=，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的長度；最后利用切割線定理來求切線BD的長度．

（1）證明：∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO（等邊對等角）．

又∵∠A+∠CDB=90°（已知），

∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代換），

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．

又∵OD是圓O的半徑．

∴BD是⊙O切線；

（2）解：連接DE，則∠ADE=90°（圓周角定理）．

∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∴DE∥BC，

又∵D是AC中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE=BC=3，AE=BE．

∵AD：AE=，

在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3，則AB=6．

∴BD2=ABBE=6×3=54，

∴BD=3．