Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．

（1）求證：△AEF≌△BEC；

（2）判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形，并說出理由；

（3）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，若BC=1，求AH的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，從而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E為AB的中點，得到AE=BE．又因為∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC；（2）在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因為∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形BCFD是平行四邊形．

（2）由∠BAD=60°，∠CAB=30°，可得∠CAH=90°；在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，根據30°角的直角三角形的性質可得AB=2BC=2，所以AD=AB=2．設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC2=3，在Rt△ACH中，根據勾股定理列出方程x2+3=（2﹣x）2，解方程即可求得AH的值．

試題解析：

（1）證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E為AB的中點，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．

（2）在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，

∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四邊形BCFD是平行四邊形

（3）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，∴AB=2BC=2．∴AD=AB=2．

設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，AC2=22﹣12=3，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2﹣x）2，解得x=，即AH=．